Содержание

Уравнения равновесия [wiki.eduVdom.com]

Проекция силы на ось — характеризует действие этой силы вдоль этой оси.

То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = \sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.

А проекция силы на ось Оу ($ P_y = \sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.

И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ \sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет , силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.

И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ \sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.

Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .

И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ \sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.

Теперь — если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой — какой угодно — точки равны нулю, то тело находится в равновесии.


$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:

Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.

Условие равновесия системы сходящихся сил

Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, то есть под действием ее тело будет находится в равновесии — условие равновесия системы сходящихся сил, может быть записано : $$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Или другими словами — для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy, соответствующие уравнения равновесия примут вид:

$$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Проекция силы на ось

Определение. Проекцией силы $\vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $\pm$ длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Рx или X. В соответствии с определением она равна:

$$ P_x = X = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = P \cdot \cos \alpha $$

$$ P_y = Y = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = P \cdot \sin \alpha $$

, где $\vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $\alpha$ – угол между ним и силой $\vec{Р}$ (Рис.1).

Рис.1

Таким образом:

$$ P_x > 0\text{, если }0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x = 0\text{, если } \alpha = \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x < 0\text{, если } \frac{\pi}{2} < \alpha \leq \pi $$

Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Вектор $ \vec{Р} $ может быть выражен:

$$\vec{Р} = P_x \cdot \vec{i} + P_y \cdot \vec{j} = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j}$$

А равнодействующая плоской системы двух сходящихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

$$ P = \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = \frac{X}{P} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = \frac{Y}{P} $$


Момент силы относительно центра

Приложим в точке А силу P и выясним — чем определяется момент силы относительно точки О, который характеризует вращательное действие этой силы относительно точки О(Рис.1).

Рис.1

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.


Уравнения равновесия плоской системы сил

Уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

  1. Первая форма:
    $$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

  2. Вторая форма:
    $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy не перпендикулярна отрезку АВ

  3. Третья форма:
    $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.

Центр тяжести квадрата и прямоугольника — точка пересечения его диагоналей.

Центр тяжести круга — в его центре.

Центр тяжести треугольника — в точке пересечения медиан.

Задачи и опыты

Задачи

Опыты с пояснением — физика 9 кл.

Рекомендуем


subjects/physics/уравнения_равновесия.txt · Последние изменения: 2016/12/24 22:09 —

Момент относительно оси — Лекции и примеры решения задач технической механики

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Правило знаков

Момент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

Mz(F) = MО(FП) = ± h FП,

где FП – вектор проекции силы F на плоскость П, перпендикулярную к оси Oz, точка O – точка пересечения оси Oz с плоскостью П, h — плечо силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:
Момент силы (видео)

Свойства

Момент силы относительно оси обладает следующими свойствами:

  1. момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;
  2. момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

>> Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки


Уравнение проекций сил на ось х имеет вид

; (3.24)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

(3.25)

реакция RAX перпендикулярна оси

Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60.

(3.26)

Подставив числовые значения, получим

Н.

Выразим из (3.25)

.

Подставив значения сил, получим

Н.

Из (3.24)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры : ;

Н.

Ответ:

Н;Н.

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным: м, м,м,кН,кН,кН/м,кНм.

Рис. 3.49. К примеру 85

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

Уравнение моментов относительно точки А

;

(3.27)

Уравнение моментов относительно точки

B

;

(3.28)

.

Из уравнения (3.27)

кН.

Из уравнения (3.28)

кН.

Значение реакции RB

получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

;

или

.

Следовательно, RA и RB определены верно.

Ответ: кН;кН.

Пример 86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять кН,кН/м,кНм,м.

Рис. 3.50. К примеру 86

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия  два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки

А:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Из уравнения (3.29) получим:

кН.

Из уравнения (3.30)

где

кН.

Тогда

кН.

Из уравнения (3.31)

но

м,

тогда

кНм.

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY  вниз.

Полная реакция опоры :

;

кН.

Ответ: кН;кНм.

Пример 87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке А, если кН/м,кН икНм.

Рис. 3.51. К примеру 87

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА. кН (рис. 3.51, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

; ; (3.32)

; ; (3.33)

; . (3.34)

Уравнение проекций сил на ось х имеет вид

; (3.24)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

(3.25)

реакция RAX перпендикулярна оси Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60.

(3.26)

Подставив числовые значения, получим

Н.

Выразим из (3.25)

.

Подставив значения сил, получим

Н.

Из (3.24)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры

Н.

Ответ: Н;Н.

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным: м, м,м,кН,кН,кН/м,кНм.

Рис. 3.49. К примеру 85

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

Уравнение моментов относительно точки А

;

(3.27)

Уравнение моментов относительно точки B

;

(3.28)

.

Из уравнения (3.27)

кН.

Из уравнения (3.28)

кН.

Значение реакции RB получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

;

или

.

Следовательно, RA и RB определены верно.

Ответ: кН;кН.

Пример 86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять кН,кН/м,кНм,м.

Рис. 3.50. К примеру 86

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия  два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки А:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Из уравнения (3.29) получим:

кН.

Из уравнения (3.30)

где

кН.

Тогда

кН.

Из уравнения (3.31)

но

м,

тогда

кНм.

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY  вниз.

Полная реакция опоры

кН.

Ответ: кН;кНм.

Пример 87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке А, если кН/м,кН икНм.

Рис. 3.51. К примеру 87

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА. кН (рис. 3.51, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

; ; (3.32)

; ; (3.33)

; . (3.34)

Ответы@Mail.Ru: Проекция сил

Может быть и син и кос, в зависимости от того какой угол задан. Для Вашего рис. Fx=-F*cosa

Ответ Сереги недостаточно контактирует с заданием. Он должен быть — | F | *cos a. Серега именно это имеет ввиду, подразумевает, что F берется по абсолютной величине. Иначе Серега должен поставить стрелку (или крышку) над F в своей формуле точно также, как это показано на рисунке. В простеньких задачах пренебрегают этим, потому что вычисления делаются вручную и контролируются зрительно. Но если написать программу, которая должна реагировать на произвольно направленную силу, то рисунок остается прежним, и отображает частный случай. А вектор для машины будет задан углом a+180 и положительным модулем. Если от этого вектора что-то будет зависеть, то он математически правильно задан. Тогда его проекция на рисунке б) отрицательна. Но если а = 0, можно решить, что величина F отрицательна (необдуманно перейдя от полярных координат в декартовы), приписать минус и соs a, и проекция получится положительной, с ошибкой. Поэтому стрелка над F в формуле (или жирная F) требуется, чтобы гарантировать применение полярной системы, сила по модулю всегда положительна, и алгоритмы однозначны. А в декартовой системе углы часто назначаются не абсолютные, а относительные. что ведет к запутанным формулам. Проекция на ось X: ПрX = |F| * Cos (180+a) Здесь F может быть жирной или со стрелкой или с крышкой, но во всех случаях будет правильно. Потому что даже если палочки абсолютной величины отсутствуют, а стрелка или жирность есть, тоже ошибиться невозможно. В данном редакторе только палочки могут помочь )))

Теорема об изменении кинетической энергии.

Если главный момент внешних сил (MOze ) относительно оси остается все время равным нулю, то кинетический момент LOz относительно этой оси остается постоянным

MOze = 0 , LOz = const .

Какова кинетическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра?

Скорость конца вектора кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра (теорема Резаля)

U = dLdtO = MOe .

Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

В механике рассматривается два случая преобразования механического движения:

•механическое движение переносится с одной системы на другую в качестве механического движения (количество движения). Мерой движе-

ния силы в этом случае является вектор импульса силы S .

•механическое движение превращается в другую форму движения (потенциальной энергии, теплоты и т. д.). В качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия. Мерой действия силы в этом случае является работа.

Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

Работа постоянной силы равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного точкой приложения силы и на косинус угла между направлениями вектора силы и вектора перемещения точки ее приложения.

A = F S cos(F, S ) .

Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

Работа постоянной силы трения скольжения равна A = −Fтр S .

Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

При вычислении работы силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным и определить работу по формуле

A = F S .

Чему равна работа равнодействующей силы?

Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении

M2

A = ∑ ∫ Fi dr .

M1

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как — через приращение дуговой координаты этой точки?

Элементарная работа силы F на участке dS определяется по формуле

δ A = F dS cos(F,V ) .

Работу на перемещении dS совершает только касательная составляющая силы Fτ = F cos(F,τ )

δ A = Fτ dS .

Каково векторное выражение элементарной работы?

Элементарную работу силы F на элементарном перемещении d r мож-

но представить как скалярное произведение δ A = F dr .

Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

Элементарная работа силы F на перемещении dr через проекцииFx ,

Fy , Fz , dx , dy , dz может быть представлена в виде

δ A = Fxdx + Fydy + Fz dz .

Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

A1,2 = M∫2

F cos(F

 

 

 

)dr , A1,2

M 2

F cos(F

 

)dS , A1,2

M 2

 

,V

= ∫

= ∫

Fτ dS ,

M1

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

M1

 

 

A1,2 = M∫2

 

 

dr , A1,2

= M∫2 (Fxdx + Fydy + Fz dz).

 

 

F

 

 

M1

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

Для графического определения работы силы F на перемещении M1M2

по оси абсцисс откладываются значения дуговой координаты точки S, а по оси ординат – соответствующие значения проекции силы на каса-

тельную Fτ . Работа силы F на перемещении M1M2 изобразиться пло-

щадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой Fτ = f (s) и ордина-

тами ac иbd , соответствующими точками M1 и M2 .

Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории. Работа силы упругости определяется по формуле

 

x

 

c

 

 

A1,0

= −c∫1

x dx = −

(x12

− x02 ),

 

 

x0

2

 

 

 

 

 

 

 

где x0 — начальная деформация.

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

Работа силы тяжести на перемещенииM1M2 :

а) положительна, если точка M1 расположена выше точки M2

б) отрицательна, если точка M1 расположена ниже точки M2

A1,2 = ±GH ,

где знак плюс соответствует перемещению точки вниз, а знак минус – перемещению точки вверх.

В каком случае работа силы упругости положительна и в каком — отрицательна?

Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, т. е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению ее точки приложения, и положительна, когда деформация уменьшается.

Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.

Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен сумме элементарных работ, приложенных к точке сил

26. Момент силы относительно оси. Аналитическое выражение момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно осиназывается момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. 

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F1 + F2 + … + Fn =  Fi.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор LO, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

LO = MO(F1) + MO(F2) + … + MO(Fn) =  MO(Fi).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор LO при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

 №

 Значения главного вектора и главного момента

 Результат приведения

 1

 

 Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О).

 2

 

 Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О.

 3

 

 Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О.

 4

, причем векторы ине перпендикулярны

 Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и  пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.

 5

 

 Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся.

30. Приведение к динаме.Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой осиПредположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k0. Имеем,, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Подставляя , получим

 Координаты точки О1 в которой получена динама, обозначим х, у, z. Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам х, у, z. Учитывая это, (*) можно выразить в форме

где i. j ,k — единичные векторы осей координат, а векторное произведение *представлено определителем. Векторное уравнение (**) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде

Полученные линейные уравнения для координат х, у, z являются уравнениями прямой линии — центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о

Содержание

Уравнения равновесия [wiki.eduVdom.com]

Проекция силы на ось — характеризует действие этой силы вдоль этой оси.

То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = \sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.

А проекция силы на ось Оу ($ P_y = \sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.

И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ \sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет , силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.

И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ \sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.

Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .

И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ \sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.

Теперь — если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой — какой угодно — точки равны нулю, то тело находится в равновесии.


$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:

Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.

Условие равновесия системы сходящихся сил

Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, то есть под действием ее тело будет находится в равновесии — условие равновесия системы сходящихся сил, может быть записано : $$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Или другими словами — для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy, соответствующие уравнения равновесия примут вид:

$$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Проекция силы на ось

Определение. Проекцией силы $\vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $\pm$ длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Рx или X. В соответствии с определением она равна:

$$ P_x = X = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = P \cdot \cos \alpha $$

$$ P_y = Y = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = P \cdot \sin \alpha $$

, где $\vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $\alpha$ – угол между ним и силой $\vec{Р}$ (Рис.1).

Рис.1

Таким образом:

$$ P_x > 0\text{, если }0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x = 0\text{, если } \alpha = \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x < 0\text{, если } \frac{\pi}{2} < \alpha \leq \pi $$

Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Вектор $ \vec{Р} $ может быть выражен:

$$\vec{Р} = P_x \cdot \vec{i} + P_y \cdot \vec{j} = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j}$$

А равнодействующая плоской системы двух сходящихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

$$ P = \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = \frac{X}{P} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = \frac{Y}{P} $$


Момент силы относительно центра

Приложим в точке А силу P и выясним — чем определяется момент силы относительно точки О, который характеризует вращательное действие этой силы относительно точки О(Рис.1).

Рис.1

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.


Уравнения равновесия плоской системы сил

Уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

  1. Первая форма:
    $$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

  2. Вторая форма:
    $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy не перпендикулярна отрезку АВ

  3. Третья форма:
    $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.

Центр тяжести квадрата и прямоугольника — точка пересечения его диагоналей.

Центр тяжести круга — в его центре.

Центр тяжести треугольника — в точке пересечения медиан.

Задачи и опыты

Задачи

Опыты с пояснением — физика 9 кл.

Рекомендуем


subjects/physics/уравнения_равновесия.txt · Последние изменения: 2016/12/24 22:09 —

Момент относительно оси — Лекции и примеры решения задач технической механики

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Правило знаков

Момент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

Mz(F) = MО(FП) = ± h FП,

где FП – вектор проекции силы F на плоскость П, перпендикулярную к оси Oz, точка O – точка пересечения оси Oz с плоскостью П, h — плечо силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:
Момент силы (видео)

Свойства

Момент силы относительно оси обладает следующими свойствами:

  1. момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;
  2. момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

>> Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки


Уравнение проекций сил на ось х имеет вид

; (3.24)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

(3.25)

реакция RAX перпендикулярна оси

Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60.

(3.26)

Подставив числовые значения, получим

Н.

Выразим из (3.25)

.

Подставив значения сил, получим

Н.

Из (3.24)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры : ;

Н.

Ответ:

Н;Н.

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным: м, м,м,кН,кН,кН/м,кНм.

Рис. 3.49. К примеру 85

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

Уравнение моментов относительно точки А

;

(3.27)

Уравнение моментов относительно точки

B

;

(3.28)

.

Из уравнения (3.27)

кН.

Из уравнения (3.28)

кН.

Значение реакции RB

получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

;

или

.

Следовательно, RA и RB определены верно.

Ответ: кН;кН.

Пример 86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять кН,кН/м,кНм,м.

Рис. 3.50. К примеру 86

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия  два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки

А:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Из уравнения (3.29) получим:

кН.

Из уравнения (3.30)

где

кН.

Тогда

кН.

Из уравнения (3.31)

но

м,

тогда

кНм.

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY  вниз.

Полная реакция опоры :

;

кН.

Ответ: кН;кНм.

Пример 87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке А, если кН/м,кН икНм.

Рис. 3.51. К примеру 87

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА. кН (рис. 3.51, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

; ; (3.32)

; ; (3.33)

; . (3.34)

Уравнение проекций сил на ось х имеет вид

; (3.24)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

(3.25)

реакция RAX перпендикулярна оси Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60.

(3.26)

Подставив числовые значения, получим

Н.

Выразим из (3.25)

.

Подставив значения сил, получим

Н.

Из (3.24)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры

Н.

Ответ: Н;Н.

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным: м, м,м,кН,кН,кН/м,кНм.

Рис. 3.49. К примеру 85

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

Уравнение моментов относительно точки А

;

(3.27)

Уравнение моментов относительно точки B

;

(3.28)

.

Из уравнения (3.27)

кН.

Из уравнения (3.28)

кН.

Значение реакции RB получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

;

или

.

Следовательно, RA и RB определены верно.

Ответ: кН;кН.

Пример 86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять кН,кН/м,кНм,м.

Рис. 3.50. К примеру 86

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия  два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки А:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Из уравнения (3.29) получим:

кН.

Из уравнения (3.30)

где

кН.

Тогда

кН.

Из уравнения (3.31)

но

м,

тогда

кНм.

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY  вниз.

Полная реакция опоры

кН.

Ответ: кН;кНм.

Пример 87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке А, если кН/м,кН икНм.

Рис. 3.51. К примеру 87

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА. кН (рис. 3.51, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

; ; (3.32)

; ; (3.33)

; . (3.34)

Ответы@Mail.Ru: Проекция сил

Может быть и син и кос, в зависимости от того какой угол задан. Для Вашего рис. Fx=-F*cosa

Ответ Сереги недостаточно контактирует с заданием. Он должен быть — | F | *cos a. Серега именно это имеет ввиду, подразумевает, что F берется по абсолютной величине. Иначе Серега должен поставить стрелку (или крышку) над F в своей формуле точно также, как это показано на рисунке. В простеньких задачах пренебрегают этим, потому что вычисления делаются вручную и контролируются зрительно. Но если написать программу, которая должна реагировать на произвольно направленную силу, то рисунок остается прежним, и отображает частный случай. А вектор для машины будет задан углом a+180 и положительным модулем. Если от этого вектора что-то будет зависеть, то он математически правильно задан. Тогда его проекция на рисунке б) отрицательна. Но если а = 0, можно решить, что величина F отрицательна (необдуманно перейдя от полярных координат в декартовы), приписать минус и соs a, и проекция получится положительной, с ошибкой. Поэтому стрелка над F в формуле (или жирная F) требуется, чтобы гарантировать применение полярной системы, сила по модулю всегда положительна, и алгоритмы однозначны. А в декартовой системе углы часто назначаются не абсолютные, а относительные. что ведет к запутанным формулам. Проекция на ось X: ПрX = |F| * Cos (180+a) Здесь F может быть жирной или со стрелкой или с крышкой, но во всех случаях будет правильно. Потому что даже если палочки абсолютной величины отсутствуют, а стрелка или жирность есть, тоже ошибиться невозможно. В данном редакторе только палочки могут помочь )))

Теорема об изменении кинетической энергии.

Если главный момент внешних сил (MOze ) относительно оси остается все время равным нулю, то кинетический момент LOz относительно этой оси остается постоянным

MOze = 0 , LOz = const .

Какова кинетическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра?

Скорость конца вектора кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра (теорема Резаля)

U = dLdtO = MOe .

Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

В механике рассматривается два случая преобразования механического движения:

•механическое движение переносится с одной системы на другую в качестве механического движения (количество движения). Мерой движе-

ния силы в этом случае является вектор импульса силы S .

•механическое движение превращается в другую форму движения (потенциальной энергии, теплоты и т. д.). В качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия. Мерой действия силы в этом случае является работа.

Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

Работа постоянной силы равна произведению модуля силы на длину пути, пройденного точкой приложения силы и на косинус угла между направлениями вектора силы и вектора перемещения точки ее приложения.

A = F S cos(F, S ) .

Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

Работа постоянной силы трения скольжения равна A = −Fтр S .

Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

При вычислении работы силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным и определить работу по формуле

A = F S .

Чему равна работа равнодействующей силы?

Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении

M2

A = ∑ ∫ Fi dr .

M1

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как — через приращение дуговой координаты этой точки?

Элементарная работа силы F на участке dS определяется по формуле

δ A = F dS cos(F,V ) .

Работу на перемещении dS совершает только касательная составляющая силы Fτ = F cos(F,τ )

δ A = Fτ dS .

Каково векторное выражение элементарной работы?

Элементарную работу силы F на элементарном перемещении d r мож-

но представить как скалярное произведение δ A = F dr .

Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

Элементарная работа силы F на перемещении dr через проекцииFx ,

Fy , Fz , dx , dy , dz может быть представлена в виде

δ A = Fxdx + Fydy + Fz dz .

Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

A1,2 = M∫2

F cos(F

 

 

 

)dr , A1,2

M 2

F cos(F

 

)dS , A1,2

M 2

 

,V

= ∫

= ∫

Fτ dS ,

M1

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

M1

 

 

A1,2 = M∫2

 

 

dr , A1,2

= M∫2 (Fxdx + Fydy + Fz dz).

 

 

F

 

 

M1

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

Для графического определения работы силы F на перемещении M1M2

по оси абсцисс откладываются значения дуговой координаты точки S, а по оси ординат – соответствующие значения проекции силы на каса-

тельную Fτ . Работа силы F на перемещении M1M2 изобразиться пло-

щадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой Fτ = f (s) и ордина-

тами ac иbd , соответствующими точками M1 и M2 .

Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории. Работа силы упругости определяется по формуле

 

x

 

c

 

 

A1,0

= −c∫1

x dx = −

(x12

− x02 ),

 

 

x0

2

 

 

 

 

 

 

 

где x0 — начальная деформация.

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

Работа силы тяжести на перемещенииM1M2 :

а) положительна, если точка M1 расположена выше точки M2

б) отрицательна, если точка M1 расположена ниже точки M2

A1,2 = ±GH ,

где знак плюс соответствует перемещению точки вниз, а знак минус – перемещению точки вверх.

В каком случае работа силы упругости положительна и в каком — отрицательна?

Работа силы упругости отрицательна в том случае, когда деформация увеличивается, т. е. когда сила упругости направлена противоположно перемещению ее точки приложения, и положительна, когда деформация уменьшается.

Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.

Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен сумме элементарных работ, приложенных к точке сил

26. Момент силы относительно оси. Аналитическое выражение момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно осиназывается момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. 

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F1 + F2 + … + Fn =  Fi.

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор LO, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

LO = MO(F1) + MO(F2) + … + MO(Fn) =  MO(Fi).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор LO при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

 №

 Значения главного вектора и главного момента

 Результат приведения

 1

 

 Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О).

 2

 

 Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О.

 3

 

 Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О.

 4

, причем векторы ине перпендикулярны

 Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и  пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.

 5

 

 Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся.

30. Приведение к динаме.Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой осиПредположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k0. Имеем,, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Подставляя , получим

 Координаты точки О1 в которой получена динама, обозначим х, у, z. Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам х, у, z. Учитывая это, (*) можно выразить в форме

где i. j ,k — единичные векторы осей координат, а векторное произведение *представлено определителем. Векторное уравнение (**) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде

Полученные линейные уравнения для координат х, у, z являются уравнениями прямой линии — центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о