Проекция силы на ось | ПроСопромат.ру

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменено вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси, отсе­каемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно

положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.

  1. Дана сила Р (рис.а), она лежит в одной пло­скости с осью х. Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α.

2016-06-24 17-43-26 Скриншот экрана

Чтобы найти величину проекции, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Рх = ab = Р cos α.

Проекция вектора в данном случае положительна.

2. Дана сила Q (рис. б), которая лежит в одной плоскости с осью

х, но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α.

2016-06-24 17-47-44 Скриншот экрана

Проекция силы Q на ось х

Qх = ab = Q cos α,

но

cos a = — cos β.

Так как α > 90°, то cos cos α — отрицательная величина. Выразив cos α через cos β  (β — острый угол), оконча­тельно получим

Qх = — Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна.

Итак,

проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси — положительным или отрицательным — он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу. Рассмотрим рисунок.

2016-06-24 23-42-20 Скриншот экрана

На нем изображена сила Р

и ее проекции Рх и Ру. Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

2016-06-24 23-49-36 Скриншот экрана

Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда из­вестны ее проекции на координатные оси. Эти же формулы могут применяться для определения величины и направ­ления любого вектора через его проекции.

§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.

Аналитический способ сложения сил

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси ( рис. 11).

Fx = Fcos , Qx = Qcos1 = – Qcos , Px = 0. (4)

Рис. 11

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца силы

на эту плоскость (рис. 12).

Рис. 12

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось (рис. 12):

Fx = Fxycos = Fcoscos , Fy = Fxysin = Fcossin . (5)

Силу можно построить, если известны модуль F этой силы, углы, , , которые сила образует с координатными осями и координаты x, y, z точки приложения.

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями Fx = X , Fy = Y , Fz = Z на координатные оси. Зная проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями по формулам

,

cos = X / F , cos = Y / F , cos = Z / F . (6)

Если есть главный вектор системы сил ,,, …,

, т.е., то проекциями вектора на оси координат будут:

, ,

Зная Rx, Ry, Rz, по формулам (6) находим модуль главного вектора и его направляющие косинусы:

,

cos = Rx / R , cos = Ry / R , cos = Rz / R . (7)

Формулы (7) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

, ,

, cos = Rx / R , cos = Ry / R . (8)

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ), если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 ,  = 300,  = 600.

Решение

Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:

Fx = Fcos = 17,32·0,866 = 15 Н, Tx = – Tcos = – 10·0,5 = – 5 Н, Px = 0,

Fy = – Fsin = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, Ty = – Tsin = 10·0,866 = 8,66 Н,

Py = – P = –24 Н.

Тогда по формулам (8)

Rx = 15 – 5 = 10 Н , Ry = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .

Следовательно

Н ; cos = 5 / 13 , cos = – 12 / 13 .

Окончательно R = 26 Н,  = 67020,  = 157020.

Для решения задачи геометрическим методом выберем соответствующий масштаб (например, в 1см – 10 Н) и построим из сил ,,, силовой многоугольник (рис. 13, б). Его замыкающая ad определяет в данном масштабе модуль и направление. Если, например, при измерении получим ad ≈ 2,5 см, то R ≈ 25 Н с погрешностью по отношению к точному решению около 4 %.

Рис. 13

§5. Равновесие системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется первой формулой (7):

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т.е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам

, ,. (9)

Равенства (9) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.

Если сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В этом случае получим только два условия равновесия:

, . (10)

3. Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия сил пересекаются в одной точке.

Для доказательства теоремы сначала рассмотрим две силы, например и. Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке А (рис. 14). Заменим их равнодействующей. Тогда на тело будут действовать две силы: силаи сила, приложенная в какой-то точке В тела. Так как тело находится в равновесии, то согласно первой аксиоме, силыинаправлены вдоль прямой АВ. Следовательно, линия действия силытоже проходит через точку А, что и требовалось доказать.

Пример. Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке А шарниром и опирающийся на выступ D (рис. 15).На этот брус действуют три силы: сила тяжести , реакциявыступа и реакцияшарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия силиизвестны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия действия реакциитоже должна пройти через точку К, т. е. должна быть направлена вдоль прямой АК.

Рис. 14 Рис. 15

Задача 2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона (рис. 16, а). Определить значение горизонтальной силы , которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давлениягруза на плоскость.

Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила на груз, сила – на плоскость. Для решения задачи вместо силы будем искать реакцию плоскости., Q = N. Тогда заданная сила и искомые силыибудут действовать на одно и то же тело на груз. Рассмотрим равновесие груза.

Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил ,и, должен быть замкнутым. Построение треугольника начнем с заданной силы. От произвольной точкиa в выбранном масштабе откладываем силу (рис. 16, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные направлениям сил и. Точка пересечения этих прямых дает третью вершинуc замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны bc и ac равны в выбранном масштабе силам и. Направление сил определяется правилом стрелок: так как равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной точке. Модули искомых сил можно найти из треугольникаabc путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Замечая, что  bac = 900,  abc =  получим F = Ptg , N = P / cos (F / P = tg , P / N = cos).

Рис. 16

Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)

, .

Для этого сначала проводим координатные оси. Затем вычисляем проекции сил ,ина осиx и y и составляем уравнения, получим:

, .

Решая эти уравнения, найдем:

, .

Вопрос 1.3 Проекция силы на ось

Проекцией силы на ось называется направленный отрезок на оси, заключенный между перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора силы на ось (рисунок 1.9).

З

Рисунок 1.9

начение проекции вектора силы на ось равно произведению модуля силы на косинус угла между ее вектором и осью. Если направление проекции совпадает с направлением оси, то проекция вектора на ось положительна, в противном случае – отрицательна.

На рисунке 1.10 показаны случаи нахождения проекций сил на ось координат.

Рисунок 1.10

; ;;.

Вопрос 1.4 Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо:

.

Плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки, относительно которой определяется момент, на линию действия силы.

Е

Рисунок 1.11

сли сила стремится повернуть тело по отношению к точкепротив хода часовой стрелки, то момент силы относительно этой точки считается положительным, в противном случае – отрицательным. Если линия действия силы проходит через данную точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю. Например, моменты сил относительно точки А (рисунок 1.11) соответственно равны:

В случаях, когда нахождение плеча затруднено, для вычисления момента силы относительно точки целесообразно использовать теорему Вариньона: момент равнодействующей силы относительно некоторой точки равен алгебраической сумме моментов сил, составляющих систему, относительно той же точки: .

При решении задач для нахождения момента силыотносительно точки с помощью теоремы Вариньона силу раскладывают на составляющие, моменты которых относительно рассматриваемой точки легко определяются. Затем искомый момент получают как алгебраическую сумму моментов составляющих. Например, для схемы, изображенной на рисунке 1.12, имеем

Рисунок 1.12

Вопрос 1.5 Пара сил

Пара сил – это система двух равных по модулю, параллельных и противоположных по направлению сил.

Из рисунка 1.13 видно, что сумма проекций сил пары на оси координат всегда равна нулю:

Н

Рисунок 1.13

айдем сумму моментов сил пары относительно произвольной точки плоскостиK:

Из полученного выражения видно, что результат не зависит от расстояния KL (следовательно, от положения точки K), а определяется только расстоянием h. Расстояние h между линиями действия сил пары называют плечом пары.

Момент пары считается положительным, если она стремится повернуть тело при действии против хода часовой стрелки, и отрицательным – при действии по ходу часовой стрелки.

На расчетных схемах для обозначения пар сил применяются символы либо.

Вопрос 1.6 Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называется точка приложения его силы тяжести.

Для нахождения положения центра тяжести используют следующие способы:

1 Метод симметрии. У однородного тела, имеющего плоскость, ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.

2 Метод разбиения на части. Если тело имеет сложную форму, его разбивают на части, положения центров тяжести которых известны. В таком случае положения центров тяжести тела определяют с использованием следующих выражений.

Координаты центра тяжести объемного тела постоянной плотности находятся по формулам

; ;,

где – координаты центров тяжести элементарных частей,

–объем i-й части.

Если тело представляет собой однородную пластину постоянной толщины, то координаты ее центра тяжести

; ,

где – площадьi-го элемента.

Для стержневых конструкций, образованных стержнями одинаковой плотности и постоянного поперечного сечения, координаты центра тяжести определяют по формулам

; ;,

где – длина элемента линии.

3 Метод отрицательных сил тяжести. При нахождении положения центра тяжести тела, имеющего вырезы, полости, отверстия и т. п., используют метод разбиения на части, причем считается, что полости (их площади, объемы) имеют отрицательный вес.

Лекция 2 Уравнения равновесия.

(2 часа, 1 семестр, 1 курс)

Проекция силы на ось и на плоскость

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус – если в отрицательном (рис. 10).

Рис. 10

 

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси:

FX = Fcos .

Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 11).

Рис. 11

Fxy = F cosQ

Fx = Fxy cos = F cosQcos

Fy = Fxy cos = F cosQcos

Проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 12).

Рис. 12

R = F1 + F2 + F3 + F4

Rx = ∑Fix Ry = ∑Fiy

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут – это геометрическое условие равновесия.

Аналитическое условие равновесия.Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю.

Fix = 0 ∑Fiy = 0 R =

Теорема о трех силах

Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке (рис. 13).

Рис. 13

Момент силы относительно центра (точки)

Моментом силы относительно центраназывается величина, равнаявзятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину h (рис. 14).

Рис. 14

М = ±F · h

Перпендикуляр h, опущенный из центра О на линию действия силы F, называется плечом силы F относительно центра О.

Момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус – если по ходу часовой стрелки.

Свойства момента силы.

1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

2. Момент силы относительно центра равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр (плечо равно нулю).

 

Пара сил. Момент пары.

 

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 15).

Наикратчайшее расстояние (перпендикуляр) между линиями действия сил называется плечом пары α.

Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту, который зависит:

1) от модуля F сил пары и длины ее плеча α;

2) положения плоскости действия пары;

3) направления поворота в этой плоскости.

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо:

 

M = ±Fα. (1.7)

 

Момент пары будет считаться положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

 

Рис.15

 

Алгебраическая сумма моментов пары сил относительно любого центра, лежащего в плоскости ее действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары:

 

m0(F) + m0(F′) = M .

 

Теорема об эквивалентности пар. Не изменяя оказываемого на тело действия, можно пару сил, приложенную к абсолютно твердому телу, заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент. Из этой теоремы вытекают следующие свойства пары сил:

1) данную пару, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно перенести куда угодно в плоскости действия пары;

2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно произвольно менять модуль силы или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Теорема. Действие пары сил на твердое тело не изменится, если пару сил перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную.

Сложение пар, лежащих в одной плоскости

Теорема о сложении пар. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар:

М mi.

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих пар была равна нулю:

Σmi= 0 .

Данное равенство является условием равновесия пар.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Реакция связи приложена к телу или к связи?

2. Перечислите основные типы связей

3. Сколько компонент реакции имеет каждый тип связей и куда они направлены?

4 Сформулируйте понятие «алгебраический момент силы».

5. Что значит «плечо силы»?

6. Как определяется знак алгебраического момента силы?

7. Что такое «пара сил»?

8 Что значит «плечо пары»?

9. Как определяется алгебраический момент пары и его знак?

 

 



2.4 Проекции силы на ось и на плоскость

Проекция силы на ось. Аналитический метод решения задач статики основан на понятии о проекции силы на ось.

Пусть мы имеем силу, приложенную в точке А тела, и некоторую ось х, положительное направление которой будем считать от точки а в ту сторону, где стоит буква х. Предположим, что линия действия силы и ось х лежат в одной плоскости (проекция силы на ось, расположенную любым образом, находится аналогично).

Опустим из начала и конца вектора силы на ось х перпендикуляры Аа и Вb (рисунок 30, а). Взятая с соответствующим знаком длина отрезка аb называется проекцией силы на ось х.

Проекция силы имеет знак «плюс», если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (рисунок 30, а), и знак «минус», если в отрицательном (рисунок 30, б). Из этого определения следует, что проекция силы на ось является величиной скалярной.

Проекцию силы на ось будем обозначать той же буквой, которой обозначена сила, но со знаком внизу, указывающим наименование оси проекций (например, и, или прописной буквой и).

Таким образом,

;.

Если провести через начало вектора силы прямую , параллельную оси х, то легко видеть, что

,

Отсюда

,, (1) т. е.проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением, оси проекций.

Проекция силы на плоскость. Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца вектора силы на эту плоскость (рисунок 31). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Oxy. Модуль проекции силы на плоскость определяется по формуле

где – угол между направлением вектора силы и ее проекции на плоскость Oxy.

Заметим, что для нахождения проекции силы , например на ось х, можно сначала найти ее проекцию на плоскость Oxy, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость . спроектировать на данную ось:

.

2.5 Определение силы по ее проекциям на координатные оси

Если сила и ось проекций заданы, то проекция силы на ось определяется единственным образом. Но задание одной проекции силы еще не определяет саму силу, так как различные силы могут иметь одинаковые проекции на одну и ту же ось (рисунок32, а)-

Если линия действия силы расположена в координатной плоскости Оху (рисунок 32, б), то для определения этой силы нужно знать ее проекции и на две прямоугольные декартовы оси координат Ох и Оу (аналитический способ задания силы). В этом случае модуль силы численно равен диагонали прямоугольника, длины сторон которого численно равны абсолютным значениям проекций на координатные осиОх и Оу. Отсюда следует, что модуль силы равен

, (1) где перед корнем всегда надо брать знак «плюс», так как модуль силы есть число арифметическое.

Направление силы определяется из равенств:

;. (2)

Покажем теперь, что сила будет вполне определена, если будут известны ее проекции ,,,на три прямоугольные декартовы оси координат Ох, Оу и Оz (рисунок 33). В самом деле, из формулы (1, §7) следует, что

;;. (3)

Отсюда находим косинусы углов между вектором силы и положительными направлениями осей проекций:

;;, (4) которые называютсянаправляющими косинусами.

Возводя равенства (3) почленно в квадрат и складывая их, находим модуль силы по формуле:

, (5)

так как

. (6)

Формулы (4) и (5) позволяют, зная проекции силы на оси координат, найти ее углы с осями и модуль, т. е. определить силу. Заметим, что в формуле (5) перед корнем всегда берется знак «плюс», так как эта формула определяет модуль силы.

Из формулы (6) следует, что из трех направляющих косинусов независимыми являются только два. Поэтому нельзя задавать произвольно три угла , и образуемых силой с координатными осями Ох, Оу и Оz.

Докажем теперь следующую теорему о проекции равнодействующей на ось: проекция равнодействующей системы сходящихся сил (безразлично, пространственной или плоской) на какую-либо ось равна алгебраической сумме : проекций составляющих сил на ту же ось.

В самом деле, положим, что на точку А тела одновременно действуют сходящиеся силы , ,,…, (рисунок 34). Найдем их равнодействующую по правилу силового многоугольника.

Спроектируем силы , ,…, и их равнодействующую на данную ось х:

;;;;;.

Сложив последние пять равенств, находим

, или

, чем и доказывается теорема.

Данная теорема справедлива при любом числе сил, поэтому аналогично получим

, или

(7)

Проекция силы на ось, не лежащую с ней в одной плоскости. — Студопедия.Нет

Способ двойного проецирования:

Сначало силу проецируют на плоскость в которой лежит данная ось, затем проекцию силы на плоскости проецируют на данную ось.

Проекция силы на плоскости – это вектор

Угол γ – это угол наклона силы Q по отношению к плоскости Qп

Qx = Qп cos 𝞫

Qп = Q cos γ

Qx = Q cos γ cos 𝞫

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно какой либо оси называется величина, характеризующая вращательный эффект данной силы, относительно этой оси.

Моментом силы относительно оси называется величина равная моменту проекции этой силы на плоскость перпендикулярной к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Например, чтобы определить момент силы относительно оси Оy, необходимо вектор силы спроецировать на плоскость перпендикулярную этой оси (рис. 11), т.е. на плоскость (xz), затем вычислить момент полученной проекции Fxz относительно центра О . Таким образом,

 

 

Мz(F) = Мо(Fxz)= ± Fxz  ℓ

Правило знаков тоже самое, но смотреть нужно с положительного конца оси.

Момент силы относительно оси будет иметь знак плюс, когда с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила Fxz , виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак минус — когда по ходу часовой стрелки.

Момент силы относительно данной оси равен 0

1.Если линия действия силы пересекает ось.

2. Если сила параллельна оси.

3. Если сила лежит на оси.

Момент силы относительно данной оси не изменяется при перемещении силы вдоль её линии действия

Условия равновесия пространственной системы сил.

Произвольной пространственной системой сил — называется система сил, линии действия которых лежат в разных плоскостях и пересекаются в одной точке.

Так же ПССС данную систему сил можно сложить по способу силового многоугольника.

Геометрическое условие равновесия ПССС включает три уравнения равновесия:

ΣFkx= 0, ΣFky= 0, ΣFkz= 0,

Так же как и ПССС можно привести к любой точке пространства (тема 1.4.2)

Порядок приведения тот же в результате получаем главный вектор и главный момент.

Для равенства ПСС необходимо чтобы выполнялись шесть уравнений равновесия:

ΣFkx= 0, ΣFky= 0, ΣFkz= 0,

Σ Mx= 0, Σ My= 0, ΣMz = 0.

Кинематика. Основные понятия кинематики.

Ответ:

Кинематика. Основные понятия кинематики:

Кинематика — это один из разделов механики, который изучает движение тел без выяснения причин этого движения

Основные понятия кинематики:

1. Система  отсчета –это некоторая система, жестко связанная с телом, по отношению к которому оцениваются движению данного тела.

2. Время (t0 =0) — это скалярная, независимая и непрерывно изменяющая величину.

3. Начальный момент- это момент времени от которого ведется отсчет.

4. Промежуток времени- это разность между какими-либо двумя последовательными моментами времени.

5. Траектория – это непрерывная линия, которая рисует движущая точка относительно данной системы отсчета.

6. Расстояние- это скалярная величина определяющая положение движущейся точки в любой момент времени на ее траектории, расстояние отсчитывается от некоторого начала отсчета.

7. Пройденный путь — это длина траектории, которую тело пройдет за время t, от начальной точки до конечной.

8. Ускорение —это физическая величина, которая определяется пределом отношения небольшого изменения скорости к небольшому промежутку времени, в течение которого происходило изменение скорости.

9. Движение материальной -точки может быть прямолинейным и криволинейным.

Способы задания движения точки.

Ответ:

Кинематически задать движение точки — значит задать положение этой точки относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Существует два способа:

а) Естественный способ задания движения точки.

Рассмотрим естественный способ задания движения точки, когда отдельно задается:

— траектория движения;

— начало и положительное направление отсчета;

— закон движения точки по траектории: S = S(t)

Управление движения: это управление определяющее положение движущей точки в зависимости от времени.

б) Координатный способ.

Положение любой точки относительно данной системы координат в полне определяется тремя координатами которые изменяются с течением времени т.е должны быть заданы в функции времени.

Х=f1 (t)

У= f2 (t)

Zf3 (t)

Скорость точки.

Ответ:

Скоростью точки -называется векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление перемещения точки.

Скорость- это кинематическая мера движения точки.

Если точка движется прямолинейно, то вектор скорости в каждый момент времени направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

В зависимости от изменения скорости движения точки может быть равномерным и неравномерным.

Равномерное движение: это движение точки ,при котором за равные промежутки времени точка проходит равные отрезки пути.

Модуль скорости в этом случае определяется по формуле: V=S/t, м/c

Неравномерное движение: если движение задано естественным способом, то модуль скорости точки в любой момент времени равен первой произвольной от расстояния по времени t.

Ускорение точки.

Ответ:

Ускорение точки — это кинематическая мера движения точки (формула: а, м/c)

Ускорением называется- векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости.

Если точка совершает криволинейное движение, и ее движение задано естественным способом, то вектор полного ускорения точки раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие.

Составляющий вектор — это касательное ускорение характеризующее быстроту изменения модуля скорости.

Вектор (атау) всегда направлен по касательной к траектории движения точки.

Модуль касательного ускорения в любой момент времени равен первой производной от скорости по времени (t) или второй производной от расстояния.

-Если точка движения ускоренно, то вектор V(атау) направлен ту даже куда и вектор скорости по модулю V.

-Если точка движения замедленно, то вектор Vнаправлен противоположно вектору скорости. По модулю V,в этом случае отрицательное.

Составляющий вектор- называется нормальным ускорением и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости.

Направление вектора полного ускорения точки определяют при помощи направляющих косинусов.

(27) cos (a an) = an/a

Проекции силы на оси координат — Студопедия.Нет

В тех случаях, когда на тело действует более трех сил, а также когда неизвестны направления некоторых сил, удобнее при решении задач пользоваться не геометрическим, а аналитическим условием равновесия, которое основано на методике проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный меж­ду двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца век­тора силы.

Пусть даны координатные оси х, у,сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей (рис. 2.3).

Проекциями силы Р на оси будут отрезки аb и а’b’.Обозначим эти проекции соответственно Рхи Ру. Тогда

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направ­лению проекции. За направление проекции примем направление от проек­ции начала к проекции конца вектора силы.

Установим следующее правило знаков:

если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направлением оси, то эта проекция считается положительной, и на­оборот.

Если вектор силы параллелен оси,то он проецируется на эту ось в натуральную величину (рис. 2.3, сила F).

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 2.3, сила Q).

Зная две проекции Рхи Ру,из треугольника ABC определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

модуль силы


направляющий тангенс угла между вектором силы Р и осью х


 

 

Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Рх и Py,параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Рх и Py,и проекции Рх и Py,  принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция — ве­личина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендику­лярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила раскладывается по двум взаимно перпенди­кулярным направлениям, параллельным осям х и у.

Аналитический способ определения равнодействующей плоской системы сходящихся сил

Пусть дана плоская система  п сходящихся сил

Равнодействующая этой системы


 

В плоскости действия данной системы выберем ось координат и спроеци­руем данные силы и их равнодействующую на эту ось.

Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на ос­новании которого можно утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е.

Правую часть этого равенства записываем упрощенно, а именно:

Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской сис­темы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат х и у, алгебраи­чески сложим проекции всех сил и найдем, таким образом, проекции рав­нодействующей:

Зная проекции, на основании формул, полученных в § 2.3, определим модуль и направление равнодействующей: модуль равнодействующей

направляющий тангенс угла между вектором F  и осью х

24

Линия действия равнодействующей проходит через точку пересече­ния линий действия составляющих сил.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о